यदि lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} log | vedclass

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Question

(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)

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$\log x$

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(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।लघुगणक लेने पर, $\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ प्राप्त होता है।अतः, $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$ होता है।यहाँ, $g(x) = \log(1+x)$, इसलिए $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$ है।माना $1+x = t$, तो $dx = dt$ होगा। जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$ होगा।अतः, $l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$ है।इसकी तुलना $\int_1^2 f(x) dx$ से करने पर, हमें $f(x) = \log x$ प्राप्त होता है।

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ है, तो $f(x)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

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