lim _{n rightarrow infty}left[frac{n+3}{n^2+1 | vedclass

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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर, हमें $S = \lim _{n

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2} \ln 2$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर, हमें $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ है।इसे $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ में विभाजित किया जा सकता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें $[	an^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ प्राप्त होता है।$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+1}{n^2+1^2}+\frac{n+2}{n^2+2^2}+\frac{n+3}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n+2 n}{n^2+(2n)^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{4n^2-1}} + \frac{1}{\sqrt{4n^2-4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4n^2-n^2}} \right)$ का मान है

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