एक प्रश्न पत्र में $3$ भाग हैं और प्रत्येक भाग में $4$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार प्रत्येक भाग से कम से कम दो प्रश्न चुनकर कुल $8$ प्रश्नों के उत्तर कितने अलग-अलग तरीकों से दे सकता है?

$11$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से यदि तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से (बिना पुनरावृत्ति के) चुनी जाती हैं,तो उनके धनात्मक सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $f(n) = n! (31-n)!$,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots, 31\}$,तो $f(n)$ का न्यूनतम मान क्या है?

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।

$5$-अंकीय ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का गुणनफल $36$ है?

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र उभयनिष्ठ (common) नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $X$ और $Y$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $X$ और $Y$ प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों: