एक अतिपरवलय (hyperbola) दीर्घवृत्त (ellipse) | vedclass

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Question

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है। दीर

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$\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$

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(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त के लिए,$a_e = 13$ और $b_e = 5$ है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_e^2}{a_e^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ है। दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm a_e e, 0) = (\pm 13 	imes \frac{12}{13}, 0) = (\pm 12, 0)$ हैं। चूंकि अतिपरवलय $(\pm 12, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{12^2}{a^2} - \frac{0}{b^2} = 1$,जिससे $a^2 = 144$ प्राप्त होता है। अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ है। उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ दिया गया है,इसलिए $e 	imes e' = 1$ है। $\frac{12}{13} 	imes \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$ है। $\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$ प्राप्त होता है। $\frac{b^2}{144} = \frac{169}{144} - 1 = \frac{25}{144}$ है। अतः,$b^2 = 25$ है। अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।

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यदि समीकरण $x+y+n=0$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$ के अभिलंब को दर्शाता है,तो $n=$

कथन $I$: अतिपरवलय $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$ की उत्केंद्रता $5/4$ है।
कथन $II$: अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ है।

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका संयुग्मी अक्ष $5$ है और नाभियों के बीच की दूरी $13$ है।

मान लीजिए $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1\}$,जहाँ $r \neq \pm 1$ है। तो $S$ क्या दर्शाता है?

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