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Question

(B) माना $V = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने प

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$e^{\frac{\pi}{2}-2}$

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(B) माना $V = \lim _{n ightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}ight)ight]^{1 / n}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log V = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1+\frac{k^2}{n^2}ight)$.यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \log(1+x^2)$:$\log V = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1}(x)$.$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:$\log V = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.अतः,$V = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2}-2}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ का मान है

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मान लीजिए $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ है। तो, $S$ का मान क्या है?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

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