मान लीजिए S = frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + frac{2 | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $

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$\frac{3^{n+1}-1}{n+1}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.अतः, $S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

मान लीजिए $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ है। तो, $S$ का मान क्या है?

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यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ है, तो $e^p=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}}\left[ {1\cos \frac{1}{{{n^2}}} + 2\cos \frac{4}{{{n^2}}} + 3\cos \frac{9}{{{n^2}}} + .... + 2n\cos 4} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

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