यदि lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n fra | vedclass

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Question

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$. हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarro

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$2$

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(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$. हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$. निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, मान लीजिए $x = \frac{r}{n}$ और $dx = \frac{1}{n}$ है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$, योग $0$ से $1$ तक के समाकल में बदल जाता है: $p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$. मान लीजिए $t = 1+x^4$, तो $dt = 4x^3 dx$ होगा। जब $x=0$, तो $t=1$ है। जब $x=1$, तो $t=2$ है। अतः, $p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$. इसलिए, $e^p = e^{\ln 2} = 2$.

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ है, तो $e^p=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $U_{n}=\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)^{1}\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)^{n}$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{\frac{-4}{n^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

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