$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $y_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2) \dots (n+n))^{\frac{1}{n}}$ है। $x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = L$ है,तो $[L]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\le x$ को दर्शाता है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^4} \left( [1^3 x] + [2^3 x] + \dots + [n^3 x] \right)$ का मान क्या होगा?

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x+1$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f(0)+f\left(\frac{5}{n}\right)+f\left(\frac{10}{n}\right)+\ldots+f\left(\frac{5(n-1)}{n}\right)\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = $