यदि a और b धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि b a | vedclass

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Question

(A) दी गई सीमा $L = \lim_{n 	o \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{na + r}$ है।हम इसे $L = \lim_{n 	o \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{n(a + \f

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$\log \left( \frac{b}{a} \right)$

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(A) दी गई सीमा $L = \lim_{n 	o \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{na + r}$ है।हम इसे $L = \lim_{n 	o \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{n(a + \frac{r}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n(b-a)} f(\frac{r}{n})$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \frac{1}{a+x}$ है।इसे निश्चित समाकल में बदलने पर,हमें $L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$ प्राप्त होता है।समाकल का मूल्यांकन करने पर,$L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ प्राप्त होता है।सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \log(a + (b-a)) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log(\frac{b}{a})$।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

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