मान लीजिए S_n = sum_{k=1}^n frac{n}{n^2+kn+k^ | vedclass

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Question

(A,D) हम योग को रीमान योग के रूप में फिर से लिख सकते हैं: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1}

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$S_n < \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

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(A,D) हम योग को रीमान योग के रूप में फिर से लिख सकते हैं: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$ है। चूँकि $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर एक ह्रासमान फलन है,इसलिए दायां रीमान योग $S_n$ समाकलन का कम मान देता है और बायां रीमान योग $T_n$ अधिक मान देता है। अतः,$S_n समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\int_0^1 \frac{dx}{(x+1/2)^2 + 3/4} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} ight) ight]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (	an^{-1}(\sqrt{3}) - 	an^{-1}(1/\sqrt{3})) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\pi/3 - \pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$। इसलिए,$S_n  \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$।

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ का मान है

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

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