ધારો કે S_n = sum_{k=1}^n frac{n}{n^2+kn+k^2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A,D) આપણે સરવાળાને રીમાન સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકીએ: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \f

Vedclass · Accepted Answer

$S_n < \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A,D) આપણે સરવાળાને રીમાન સરવાળા તરીકે ફરીથી લખી શકીએ: $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n) + (k/n)^2}$ ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$. કારણ કે $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે,તેથી જમણો રીમાન સરવાળો $S_n$ એ સંકલનનું ઓછું મૂલ્ય આપે છે અને ડાબો રીમાન સરવાળો $T_n$ એ વધારે મૂલ્ય આપે છે. આમ,$S_n સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\int_0^1 \frac{dx}{(x+1/2)^2 + 3/4} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} ight) ight]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (	an^{-1}(\sqrt{3}) - 	an^{-1}(1/\sqrt{3})) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\pi/3 - \pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$. તેથી,$S_n  \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ અને $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ જ્યાં $n=1, 2, 3, \ldots$ છે. તો,

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ છે. તો, $S$ ની કિંમત શું થાય?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module