$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}}\left[2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k\right]=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$