एक फलन f: R rightarrow R इस प्रकार है कि y f( | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $y f(x+y) + \cos(mxy) = 1 + y f(x)$।पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(mxy)$।$m=2$ रखने पर, समीकरण: $y(f(x+y

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$2x^2$

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(D) दिया गया समीकरण: $y f(x+y) + \cos(mxy) = 1 + y f(x)$।पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(mxy)$।$m=2$ रखने पर, समीकरण: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(2xy)$।दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर $(y 
eq 0)$: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{1 - \cos(2xy)}{y^2}$।सर्वसमिका $1 - \cos(2	heta) = 2 \sin^2(	heta)$ का उपयोग करने पर: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{2 \sin^2(xy)}{y^2}$।इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} ight)^2$।$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए, $y ightarrow 0$ सीमा लेने पर:$f'(x) = \lim_{y ightarrow 0} \frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \lim_{y ightarrow 0} 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} ight)^2$।$x^2$ से गुणा और भाग करने पर: $f'(x) = 2x^2 \lim_{y ightarrow 0} \left( \frac{\sin(xy)}{xy} ight)^2$।चूँकि $\lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$, इसलिए: $f'(x) = 2x^2(1)^2 = 2x^2$।

एक फलन $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $y f(x+y) + \cos(mxy) = 1 + y f(x)$। यदि $m=2$ है, तो $f'(x) =$

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यदि $f(x) = \cos^{-1}\left[ \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right]$ है,तो $f'(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $h$ के लिए,$h(0)=0$,$h(1)=1$ और $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$ है। यदि $g(x)=h(e^{x}) e^{h(x)}$ है,तो $g^{\prime}(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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