यदि f^{prime}(x)=tan^{-1}(sec x+tan x) जहाँ - | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=	an^{-1}(\sec x+	an x)$.इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$f^{\prime}(x)=	an^{-1}\left(\frac{1+\sin x}

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$\frac{\pi+1}{4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x)=	an^{-1}(\sec x+	an x)$.इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$f^{\prime}(x)=	an^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}ight)$अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:$f^{\prime}(x)=	an^{-1}\left(\frac{1+	an \frac{x}{2}}{1-	an \frac{x}{2}}ight) = 	an^{-1}\left(	an(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})ight)$चूँकि $-\frac{\pi}{2} $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$f(x) = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.चूँकि $f(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.$x=1$ के लिए,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

यदि $f^{\prime}(x)=\tan^{-1}(\sec x+\tan x)$ जहाँ $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ है और $f(0)=0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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