int(cot x cot (x+alpha)+1) d x= | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int(\cot x \cot (x+\alpha)+1) d x$ है। सर्वसमिका $\cot A \cot B + 1 = \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B} =

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$\cot \alpha \log \left|\frac{\sin x}{\sin (x+\alpha)}\right|+c$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int(\cot x \cot (x+\alpha)+1) d x$ है। सर्वसमिका $\cot A \cot B + 1 = \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B} = \frac{\cos(A-B)}{\sin A \sin B}$ का उपयोग करने पर: $I = \int \frac{\cos(x - (x+\alpha))}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \int \frac{\cos(-\alpha)}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \cos \alpha \int \frac{1}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$. $\sin \alpha$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \int \frac{\sin \alpha}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x = \cot \alpha \int \frac{\sin((x+\alpha)-x)}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$. $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $I = \cot \alpha \int \frac{\sin(x+\alpha) \cos x - \cos(x+\alpha) \sin x}{\sin x \sin (x+\alpha)} d x$. $I = \cot \alpha \int (\cot x - \cot (x+\alpha)) d x$. समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \cot \alpha (\log |\sin x| - \log |\sin (x+\alpha)|) + c = \cot \alpha \log \left|\frac{\sin x}{\sin (x+\alpha)}\right| + c$.

$\int(\cot x \cot (x+\alpha)+1) d x=$

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$\int \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) d x=$

$\int \frac{1}{\log_x e} \, dx = $

$\int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

$\int \frac{1}{1+x+x^2} \, dx =$

$\int \frac{(x + 1)^2}{x(x^2 + 1)} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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