int (1+tan^2 x)(1+2x tan x) dx = | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int (1+	an^2 x)(1+2x 	an x) dx$ है। चूंकि $1+	an^2 x = \sec^2 x$, इसलिए $I = \int \sec^2 x (1+2x 	an x) dx$ होगा। मान ली

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$x 	an^2 x + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $I = \int (1+	an^2 x)(1+2x 	an x) dx$ है। चूंकि $1+	an^2 x = \sec^2 x$, इसलिए $I = \int \sec^2 x (1+2x 	an x) dx$ होगा। मान लीजिए $f(x) = x 	an^2 x$ है। तब $f'(x) = 	an^2 x + x(2 	an x \sec^2 x) = 	an^2 x + 2x 	an x \sec^2 x$ होगा। हम जानते हैं कि $	an^2 x = \sec^2 x - 1$ है। अतः $f'(x) = \sec^2 x - 1 + 2x 	an x \sec^2 x = \sec^2 x (1 + 2x 	an x) - 1$ होगा। इस प्रकार, $\int \sec^2 x (1 + 2x 	an x) dx = \int (f'(x) + 1) dx = f(x) + x + c = x 	an^2 x + x + c$ होगा। विकल्पों को देखते हुए, सही विकल्प $B$ है।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\|\cos x\| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

$\int (1+\tan^2 x)(1+2x \tan x) dx =$

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