यदि int frac{cos x+x}{1+sin x} d x=f(x)+int f | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-2 x}{1+	an \frac{x}{2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$. $f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} ight) d x$. $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करके, हम समाकल्य को सरल करते हैं। ध्यान दें कि $\frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} = \frac{(3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})}{1+\sin x} = \frac{3 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{1+\sin x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sin x + 1}{1+\sin x} = \frac{1+\cos x + \sin x}{1+\sin x} = \frac{\cos x}{1+\sin x} + 1$. इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, $f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - (\frac{\cos x}{1+\sin x} + 1) ight) d x = \int (\frac{x}{1+\sin x} - 1) d x$. $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करके, हमें $f(x) = \frac{-2x}{1+	an \frac{x}{2}}$ प्राप्त होता है। अतः, सही विकल्प $A$ है।

यदि $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$ है, तो $f(x)=$

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$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x\left(1+\cos ^2 2 x\right)} d x=$

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