यदि f(x) = g(x) है,तो int {f'(x) cdot g(x)} , | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x) = g(x)$.हमें समाकलन $I = \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $f(x) = g(x)$,हम $f(x)$ को $g(x)$ से या इसके

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$A$ या $C$ दोनों

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(D) दिया गया है कि $f(x) = g(x)$.हमें समाकलन $I = \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $f(x) = g(x)$,हम $f(x)$ को $g(x)$ से या इसके विपरीत प्रतिस्थापित कर सकते हैं।विधि $1$: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए।माना $f(x) = t$,तो $f'(x) \, dx = dt$.चूंकि $f(x) = g(x)$,हमें प्राप्त होता है $I = \int f(x) \cdot f'(x) \, dx = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c = \frac{{\{f(x)\}}^2}{2} + c$.चूंकि $f(x) = g(x)$,यह मान $\frac{{\{g(x)\}}^2}{2} + c$ के भी बराबर है।विधि $2$: खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए।$I = \int g(x) \cdot f'(x) \, dx = g(x) \cdot f(x) - \int g'(x) \cdot f(x) \, dx + c$.चूंकि $f(x) = g(x)$,इसलिए $f'(x) = g'(x)$.$I = g(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx + c$.$I = {\{g(x)\}}^2 - I + c$.$2I = {\{g(x)\}}^2 + c$.$I = \frac{1}{2}{\{g(x)\}}^2 + c$.विकल्प $A$ और $C$ दोनों समान मान दर्शाते हैं क्योंकि $f(x) = g(x)$.अतः,सही विकल्प $D$ है।

यदि $f(x) = g(x)$ है,तो $\int {f'(x) \cdot g(x)} \, dx$ का मान क्या होगा?

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यदि $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$ है, तो $f(x)=$

यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + K$,जहाँ $K$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $5(A+B+C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,जहाँ $x > 0$ है। तो $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ है,तो $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int (1+\tan^2 x)(1+2x \tan x) dx =$

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