int_0^{pi / 4} frac{sin x+cos x}{7+9 sin 2 x} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$.हम जानते हैं कि $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x =

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$\frac{\log 7}{24}$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$.हम जानते हैं कि $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.अतः, $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) dx$.जब $x = 0$, तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.जब $x = \pi/4$, तब $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{7 + 9(1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{16 - 9t^2}$.$I = \frac{1}{9} \int_{-1}^0 \frac{dt}{(4/3)^2 - t^2}$.सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2(4/3)} \left[ \log \left| \frac{4/3 + t}{4/3 - t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{24} \left[ \log \left| \frac{4+3t}{4-3t} \right| \right]_{-1}^0$.$I = \frac{1}{24} [\log(1) - \log| (4-3)/(4+3) |] = \frac{1}{24} [0 - \log(1/7)] = \frac{1}{24} \log 7$.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{7+9 \sin 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x} & 0 \le x \le 1 \\ (7x - 6)^{-1/3} & 1 < x \le 2 \end{cases}$ है,तो $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} d x=$

माना $x \in R$ के लिए,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,जहाँ $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. तो $S_2(3) + 6C_3$ का मान $...........$ है।

$\int_0^{\pi / 4} [\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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