int_{-pi / 8}^{pi / 8} frac{sin ^4(4 x)}{1+e^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ क

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$\frac{3 \pi}{64}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = -\frac{\pi}{8}$ और $b = \frac{\pi}{8}$, हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$चूँकि $\sin^4(4x)$ एक सम फलन है, $2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$, इसलिए $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ प्राप्त होता है।माना $4x = t$, तो $4 dx = dt$, अर्थात $dx = \frac{1}{4} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.वालिस के सूत्र $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करते हुए:$I = \frac{1}{4} 	imes \left( \frac{3 	imes 1}{4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} 	imes \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

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यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है और $f(x)$ का प्रांत (domain) $x \in [1, 5]$ है,जहाँ $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$,तो $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो $\pi^{2} \int_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x}{2}\right)(x-[x])^{[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x=$

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ में)

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