int_{-pi / 8}^{pi / 8} frac{sin ^4(4 x)}{1+e^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi}{64}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = -\frac{\pi}{8}$ અને $b = \frac{\pi}{8}$, તેથી $a+b = 0$ મળે છે.$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$$\sin^4(4x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, $2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$, તેથી $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ મળે.ધારો કે $4x = t$, તો $4 dx = dt$, એટલે કે $dx = \frac{1}{4} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n$ યુગ્મ છે) નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{4} 	imes \left( \frac{3 	imes 1}{4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} 	imes \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

Similar Questions

જો $\int \limits_0^\pi \frac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3x+\cos^2 x+\cos^3 x \cos 3x) dx}{1+5^{\cos x}} = \frac{k \pi}{16}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત $...........$ છે.

$\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

જો $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $P = \int_0^{3\pi} f(\cos^2 x) dx$ અને $Q = \int_0^{\pi} f(\cos^2 x) dx$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module