int_0^{pi} x f(sin x) , dx ની કિંમત શોધો. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) \, dx$. કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$, તેથી: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) \, dx = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. $I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - I$. $2I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય, અહીં $2a = \pi$, તેથી $a = \frac{\pi}{2}$. કારણ કે $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$, તેથી: $2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$. $I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$.

$\int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x} \, dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$,જ્યાં $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ સંમેય સંખ્યાઓ હોય,તો $3\alpha + 4\beta - \gamma$ ની કિંમત .......... થાય.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ ની કિંમત શોધો.

$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^{1} x \tan^{-1} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} \,dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module