int_0^{pi} x f(sin x) , dx का मान ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\

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$\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) \, dx$. चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$, इसलिए: $I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) \, dx = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$. $I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - I$. $2I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर, यदि $f(2a-x) = f(x)$, यहाँ $2a = \pi$, अतः $a = \frac{\pi}{2}$. चूंकि $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$, इसलिए: $2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$. $I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$.

$\int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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