int_0^pi x log(sin x) , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\p

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$\frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$

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(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin x) \, dx$ ..... $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \log(\sin x) \, dx = \pi \int_0^\pi \log(\sin x) \, dx$ गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 = \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2})$. अतः,$I = \pi \left( \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$.

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

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यदि $I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx$ और $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ है, तो

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = . . . . . .$

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यदि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ है,तो:

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