वक्रों का एक परिवार जिसका समीकरण 1 कोटि और 3 | vedclass

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Question

(C) प्रत्येक विकल्प के लिए अवकल समीकरण ज्ञात करने हेतु, हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और स्वेच्छ अचर को हटाते हैं।$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. अवकलन

Vedclass · Accepted Answer

$y^2=2c(x+\sqrt{c})$

Vedclass · Answer

(C) प्रत्येक विकल्प के लिए अवकल समीकरण ज्ञात करने हेतु, हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और स्वेच्छ अचर को हटाते हैं।$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. अवकलन करने पर, $2x+2y\frac{dy}{dx}+2g+4\frac{dy}{dx}=0$. यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण देता है।$(b)$ $x^2=a^2(1+y^2)$. अवकलन करने पर, $2x=a^2(2y\frac{dy}{dx})$. $a^2$ का मान वापस रखने पर, हमें प्रथम कोटि और प्रथम घात का समीकरण मिलता है।$(c)$ $y^2=2c(x+\sqrt{c})$. अवकलन करने पर, $2y\frac{dy}{dx}=2c$, अतः $c=y\frac{dy}{dx}$. $c$ का मान मूल समीकरण में रखने पर: $y^2=2(y\frac{dy}{dx})(x+\sqrt{y\frac{dy}{dx}})$. पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2-2xy\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\sqrt{y\frac{dy}{dx}}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^2-2xy\frac{dy}{dx})^2 = 4y^2(\frac{dy}{dx})^2(y\frac{dy}{dx}) = 4y^3(\frac{dy}{dx})^3$. इस समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।$(d)$ $y^2=4ax$. अवकलन करने पर, $2y\frac{dy}{dx}=4a$. $a$ का मान रखने पर $y^2=2xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है, जो प्रथम कोटि और प्रथम घात का है।अतः, विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

वक्रों का एक परिवार जिसका समीकरण $1$ कोटि और $3$ घात वाले अवकल समीकरण का सामान्य हल है, वह है ($g, a, c$ स्वेच्छ अचर हैं):

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यदि वक्रों के कुल $y^2=4a(x+a)$ (जहाँ $a$ एक प्राचल है) के संगत अवकल समीकरण की कोटि और घात क्रमशः $m$ और $n$ हैं, तो $m+n^2=$

स्वेच्छ अचर $m$ को विलुप्त करके समीकरण $y = e^{mx}$ के संगत अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

समीकरण $y^2 = (x + c)^3$ से स्वेच्छ अचर को विलुप्त करने पर प्राप्त अवकल समीकरण है

फलन $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \dots \infty}}}$ द्वारा संतुष्ट होने वाला अवकल समीकरण है

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