x, y, z तीन सदिश हैं, जिनमें से प्रत्येक का प | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि, $|x|=|y|=|z|=\sqrt{2}$ और $	heta=60^{\circ}$.अतः, $x \cdot y = |x||y| \cos 60^{\circ} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) 	imes \frac{1}{2} =

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$\frac{1}{2}[(a+b) 	imes c-(a+b)]$

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(A) दिया गया है कि, $|x|=|y|=|z|=\sqrt{2}$ और $	heta=60^{\circ}$.अतः, $x \cdot y = |x||y| \cos 60^{\circ} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) 	imes \frac{1}{2} = 1$.इसी प्रकार, $y \cdot z = z \cdot x = 1$ और $x \cdot x = y \cdot y = z \cdot z = |x|^2 = 2$.अब, $a = x 	imes (y 	imes z) = (x \cdot z)y - (x \cdot y)z = 1 \cdot y - 1 \cdot z = y - z$ $\dots(i)$.साथ ही, $b = y 	imes (z 	imes x) = (y \cdot x)z - (y \cdot z)x = 1 \cdot z - 1 \cdot x = z - x$ $\dots(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर, $a + b = y - x$, अतः $y - x = a + b$ $\dots(iii)$.दिया है $c = x 	imes y$. क्रमशः $x$ और $y$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:$x 	imes c = x 	imes (x 	imes y) = (x \cdot y)x - (x \cdot x)y = x - 2y$ $\dots(iv)$.$y 	imes c = y 	imes (x 	imes y) = (y \cdot y)x - (y \cdot x)y = 2x - y$ $\dots(v)$.$(iv)$ में से $(v)$ घटाने पर, $(x - y) 	imes c = (x - 2y) - (2x - y) = -x - y$, जिसका अर्थ है $x + y = (y - x) 	imes c$.$(iii)$ से $y - x = a + b$ प्रतिस्थापित करने पर, $x + y = (a + b) 	imes c$ $\dots(vi)$.$(vi)$ में से $(iii)$ घटाने पर, $(x + y) - (y - x) = (a + b) 	imes c - (a + b)$.$2x = (a + b) 	imes c - (a + b)$.अतः, $x = \frac{1}{2}[(a + b) 	imes c - (a + b)]$.

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यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ है,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$

यदि $|\vec{a}| = 4$,$|\vec{b}| = 2$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = \dots$

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