$A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(B)=0.4$, $P(A \cap \bar{B})=0.5$, और $P(A \cup B) + P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = 1.15$. तो $P(A) = $

जनसंख्या का $25 \%$ धूम्रपान करने वाले हैं। धूम्रपान करने वाले व्यक्ति को धूम्रपान न करने वाले व्यक्ति की तुलना में फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना $27$ गुना अधिक है। एक व्यक्ति को फेफड़ों के कैंसर का निदान किया जाता है और इस बात की संभावना कि यह व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है,$\frac{k}{10}$ है। तो $k$ का मान $.............$ है।

कलश $A, B$ और $C$ में क्रमशः $4$ लाल,$6$ काली; $5$ लाल,$5$ काली और $\lambda$ लाल,$4$ काली गेंदें हैं। एक कलश को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद लाल है और इसके कलश $C$ से निकाले जाने की प्रायिकता $0.4$ है,तो परवलय $y^2 = \lambda x$ में अंतर्निहित सबसे बड़े समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए,जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है।

एक थैले में $6$ गेंदें हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं और दोनों काली पाई जाती हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले में कम से कम $5$ काली गेंदें हैं?

एक डीलर $3$ अलग-अलग विनिर्माण कंपनियों $C_1, C_2$ और $C_3$ से रेफ्रिजरेटर प्राप्त करता है। उसके स्टॉक का $25 \%$ हिस्सा $C_1$ से, $35 \%$ हिस्सा $C_2$ से और $40 \%$ हिस्सा $C_3$ से है। $C_1, C_2$ और $C_3$ से खराब (defective) रेफ्रिजरेटर प्राप्त करने का प्रतिशत क्रमशः $3 \%, 2 \%$ और $1 \%$ है। यदि यादृच्छिक रूप से बेचा गया एक रेफ्रिजरेटर ग्राहक द्वारा खराब पाया जाता है, तो इसके $C_2$ से होने की प्रायिकता क्या है?

एक आदमी $4$ में से $3$ बार सच बोलता है। वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह $6$ है। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वास्तव में $6$ है?