$A$ અને $B$ એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ છે જેથી $P(B)=0.4$, $P(A \cap \bar{B})=0.5$, અને $P(A \cup B) + P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = 1.15$. તો $P(A) = $

ત્રણ સમાન પાત્રો $A, B, C$ માં અનુક્રમે $2$ લાલ અને $3$ સફેદ દડા; $3$ લાલ અને $2$ સફેદ દડા; $1$ લાલ અને $4$ સફેદ દડા છે. જો કોઈ એક પાત્રમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો હોય, તો તે પાત્ર $C$ માંથી પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના શોધો.

એક ફેક્ટરીમાં બે મશીનો $A$ અને $B$ છે. ભૂતકાળના રેકોર્ડ દર્શાવે છે કે મશીન $A$ એ કુલ ઉત્પાદનના $60 \%$ વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કર્યું અને મશીન $B$ એ $40 \%$ વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કર્યું. વધુમાં,મશીન $A$ દ્વારા ઉત્પાદિત $2 \%$ વસ્તુઓ અને મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત $1 \%$ વસ્તુઓ ખામીયુક્ત હતી. બધી વસ્તુઓને એક સ્ટોકપાઈલમાં મૂકવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક વસ્તુ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે ખામીયુક્ત જણાય છે. તો તે મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક ડૉક્ટર માને છે કે દર્દીને ત્રણ રોગો $d_1, d_2$ અથવા $d_3$ માંથી એક છે. કોઈપણ પરીક્ષણ પહેલાં,તે દરેક રોગ માટે સમાન સંભાવના ધારે છે. તે એક પરીક્ષણ કરે છે જે જો દર્દીને $d_1$ રોગ હોય તો $0.7$ સંભાવના સાથે,જો દર્દીને $d_2$ રોગ હોય તો $0.5$ સંભાવના સાથે અને જો દર્દીને $d_3$ રોગ હોય તો $0.8$ સંભાવના સાથે પોઝિટિવ આવે છે. જો પરીક્ષણનું પરિણામ પોઝિટિવ આવ્યું હોય,તો દર્દીને $d_2$ રોગ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $HIV$ ટેસ્ટની વિશ્વસનીયતા નીચે મુજબ છે: $HIV$ ધરાવતા લોકોમાંથી,$90\%$ ટેસ્ટ રોગને શોધી કાઢે છે પરંતુ $10\%$ શોધી શકાતા નથી. $HIV$ મુક્ત લોકોમાંથી,$99\%$ ટેસ્ટ $HIV$ નેગેટિવ તરીકે ઓળખાય છે પરંતુ $1\%$ $HIV$ પોઝિટિવ તરીકે નિદાન થાય છે. એક મોટી વસ્તીમાંથી જેમાં માત્ર $0.1\%$ લોકો $HIV$ ધરાવે છે,એક વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,$HIV$ ટેસ્ટ આપવામાં આવે છે,અને પેથોલોજીસ્ટ તેને $HIV$ પોઝિટિવ તરીકે રિપોર્ટ કરે છે. વ્યક્તિને ખરેખર $HIV$ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

$k=1, 2, 3$ માટે,પેટી $B_k$ માં $k$ લાલ દડા અને $(k+1)$ સફેદ દડા છે. ધારો કે $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,અને $P(B_3) = \frac{1}{6}$ છે. એક પેટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. જો કાઢવામાં આવેલો દડો લાલ હોય,તો તે પેટી $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?