એક અતિવલય, જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ 2 sin thet | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2 a_{1} = 2 \sin 	heta$ છે, તેથી $a_{1} = \sin 	heta$.ઉપવલય $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ માટે, $12$ વડે ભાગત

Vedclass · Accepted Answer

$x^{2} \operatorname{cosec}^{2} 	heta-y^{2} \sec ^{2} 	heta=1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2 a_{1} = 2 \sin 	heta$ છે, તેથી $a_{1} = \sin 	heta$.ઉપવલય $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ માટે, $12$ વડે ભાગતા $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ મળે.અહીં, $a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$.ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$, તેથી $3 = 4(1 - e^{2})$, જે $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ આપે છે, એટલે કે $e = \frac{1}{2}$.ઉપવલયનું નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 2 	imes \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.અતિવલય ઉપવલય સાથે સહકેન્દ્રી હોવાથી, તેનું નાભિ $(\pm 1, 0)$ છે.અતિવલય માટે, $a_{1} e_{1} = 1$. $a_{1} = \sin 	heta$ મૂકતા, $e_{1} = \frac{1}{\sin 	heta} = \operatorname{cosec} 	heta$ મળે.હવે, $b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} 	heta = \cos^{2} 	heta$.અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ છે, જે $\frac{x^{2}}{\sin^{2} 	heta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} 	heta} = 1$ બને છે.આથી $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} 	heta - y^{2} \sec^{2} 	heta = 1$ મળે છે.

એક અતિવલય, જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2 \sin \theta$ છે, તે ઉપવલય $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ સાથે સહકેન્દ્રી (confocal) છે. તેનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

જો $5x^2 + \lambda y^2 = 20$ એ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શું થાય?

બિંદુઓ $\left(ct_1, \frac{c}{t_1}\right)$ અને $\left(ct_2, \frac{c}{t_2}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module