एक अतिपरवलय, जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई 2 | vedclass

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Question

(B) दिया है, अतिपरवलय की अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 a_{1} = 2 \sin 	heta$ है, इसलिए $a_{1} = \sin 	heta$.दीर्घवृत्त $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ के लिए,

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$x^{2} \operatorname{cosec}^{2} 	heta-y^{2} \sec ^{2} 	heta=1$

Vedclass · Answer

(B) दिया है, अतिपरवलय की अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 a_{1} = 2 \sin 	heta$ है, इसलिए $a_{1} = \sin 	heta$.दीर्घवृत्त $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ के लिए, $12$ से भाग देने पर $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।यहाँ, $a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है।दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$, अतः $3 = 4(1 - e^{2})$, जिससे $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है, अर्थात $e = \frac{1}{2}$।दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm ae, 0) = (\pm 2 	imes \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ है।चूंकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त के साथ संनाभिक है, इसलिए इसकी नाभि $(\pm 1, 0)$ है।अतिपरवलय के लिए, $a_{1} e_{1} = 1$ है। $a_{1} = \sin 	heta$ रखने पर, $e_{1} = \frac{1}{\sin 	heta} = \operatorname{cosec} 	heta$ प्राप्त होता है।अब, $b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} 	heta = \cos^{2} 	heta$ है।अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ है, जो $\frac{x^{2}}{\sin^{2} 	heta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} 	heta} = 1$ बन जाता है।अतः $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} 	heta - y^{2} \sec^{2} 	heta = 1$ प्राप्त होता है।

एक अतिपरवलय, जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 \sin \theta$ है, दीर्घवृत्त $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ के साथ संनाभिक (confocal) है। इसका समीकरण है

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उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियों के निर्देशांक $(\pm 8, 0)$ हैं और नाभिलंब की लंबाई $24$ इकाई है।

माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि एक वृत्त अतिपरवलय $xy = 1$ को चार बिंदुओं $(x_r, y_r)$ पर प्रतिच्छेद करता है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4$ है,तो:

यदि अतिपरवलय (hyperbola) का नाभिलंब (latus rectum) उसके केंद्र पर समकोण बनाता है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

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