यदि अतिपरवलय (hyperbola) का नाभिलंब (latus re | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि अतिपरवलय का नाभिलंब उसके केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।अतः,उत्कें

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$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि अतिपरवलय का नाभिलंब उसके केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।अतः,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ और $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।केंद्र $C = (0, 0)$ है।$\angle LCL' = 90^{\circ}$ होने के कारण,$CL$ और $CL'$ की प्रवणता (slope) $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ और $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ है।चूंकि $CL \perp CL'$,इसलिए $m_1 	imes m_2 = -1$।$\left(\frac{b^2}{a^2e}ight) 	imes \left(-\frac{b^2}{a^2e}ight) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$।$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$।चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 - e - 1 = 0$ लेने पर,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि अतिपरवलय (hyperbola) का नाभिलंब (latus rectum) उसके केंद्र पर समकोण बनाता है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

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