જો હાયપરબોલા (અતિવલય) નું લેટસ રેક્ટમ તેના કેન્દ્ર પર કાટખૂણો આંતરે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

હાયપરબોલા (અતિવલય) નું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ (જેની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે) શોધો,જેની લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ = $9$ એકમ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા = $5/4$ છે.

ધારો કે $P(\frac{\pi}{4}), Q(\frac{5 \pi}{4}), R(\frac{3 \pi}{4}), T(\frac{7 \pi}{4})$ એ અતિવલય $x^2-4y^2-4=0$ પરના બિંદુઓ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં છે. તો ચતુષ્કોણ $PQRT$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો. ($\sqrt{2}$ માં)

$(0, 1)$ બિંદુમાંથી અતિવલય $45x^2 - 4y^2 = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકો પૈકી એકનું સમીકરણ શોધો.

જો $e_1$ એ અતિવલય $x = \sec \theta, y = \sqrt{2} \tan \theta$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય અને $e_2$ એ અતિવલય $x = \sqrt{2} \sec \theta, y = \tan \theta$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $\frac{e_2^2}{e_1^2} = $

ધારો કે $X$-અક્ષ એ અતિવલય $H$ ની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) છે અને $Y$-અક્ષ એ તેની અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત હોય,અને જો $(5, 4)$ એ $H$ પરનું બિંદુ હોય,તો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.