$k$ के विभिन्न मानों के लिए रेखाओं $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}k = 0$ और $\sqrt{3}kx + yk - 4\sqrt{3} = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के शीर्ष और नाभियाँ क्रमशः $(\pm 3,0)$ और $(\pm 4,0)$ हैं,तो उस अतिपरवलय के प्राचलिक समीकरण (parametric equations) क्या हैं?

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींची जाएँ कि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $c^2$ हो,तो वे किस वक्र पर प्रतिच्छेद करती हैं?

मान लीजिए $P(h, k)$ अतिपरवलय $5 x^2-7 y^2-35=0$ की स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है जो रेखा $\sqrt{2} x-y+\lambda=0$ के समानांतर है। यदि $P$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,तो $3 h^2-2 k=$

रेखाओं $x - y = 0$,$x + y = 0$ और अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की किसी स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

$(3, 0)$ और $(3\sqrt{2}, 2)$ बिंदुओं से होकर गुजरने वाले अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या होगी?