एक फलन $f$, $[0,2]$ पर $f(x)=2+(x-1)^{2/3}$ द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है?

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है, तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर सतत है और $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है, तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

मान लीजिए कि $f$,$[1, 5]$ पर सतत है और $(1, 5)$ में अवकलनीय है। यदि $f(1)=-3$ और सभी $x \in (1, 5)$ के लिए $f'(x) \ge 9$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए कि $f$ एक ऐसा फलन है जो सभी $x$ के लिए सतत और अवकलनीय है। यदि $f(1) = 1$ और $[1, 5]$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,तो $f(5)$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के धनात्मक मूल के बारे में क्या कहा जा सकता है?