$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3} \int_0^x \frac{t \ln (1+t)}{t^4+4} dt$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha$ એ એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ અને $g: (\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$ અને $g(x) = \frac{2 \log_{e}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log_{e}(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. તો $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} - 1}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \cos \pi x}}{{{{\tan }^2}\pi x}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^n \left( \frac{2\tan(x/2^{r+1})}{1 - \tan^2(x/2^{r+1})} \right)$. તો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{f(x)}}{x - f(x)}$ ની કિંમત . . . . . . . છે.