int x^2 sin 2x , dx = | vedclass

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Question

(B) $I = \int x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v

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$-\frac{1}{2}x^2 \cos 2x + \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c$

Vedclass · Answer

(B) $I = \int x^2 \sin 2x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$। मान लीजिए $u = x^2$ और $dv = \sin 2x \, dx$। तब $du = 2x \, dx$ और $v = -\frac{\cos 2x}{2}$ प्राप्त होता है। सूत्र लागू करने पर: $I = x^2 \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) (2x \, dx)$ $I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \int x \cos 2x \, dx$। अब,$\int x \cos 2x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: मान लीजिए $u = x$ और $dv = \cos 2x \, dx$। तब $du = dx$ और $v = \frac{\sin 2x}{2}$ प्राप्त होता है। $\int x \cos 2x \, dx = x \left(\frac{\sin 2x}{2}\right) - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx$ $= \frac{x \sin 2x}{2} - \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}$। इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर: $I = -\frac{x^2 \cos 2x}{2} + \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + c$।

$\int x^2 \sin 2x \, dx = $

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