यदि रैखिक फलन f(x) और g(x),int {left[ {left( | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int [(1 - 2x)\cos x + (3 + 2x)\sin x] dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 - 2x)$ और $

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$f(x) = 3 - 2x$

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(A) हमें समाकलन $I = \int [(1 - 2x)\cos x + (3 + 2x)\sin x] dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 - 2x)$ और $dv = \cos x dx$ लेने पर,$du = -2 dx$ और $v = \sin x$ प्राप्त होता है। $\int (1 - 2x)\cos x dx = (1 - 2x)\sin x - \int \sin x (-2) dx = (1 - 2x)\sin x - 2\cos x$. अब,दूसरे भाग के लिए,$u = (3 + 2x)$ और $dv = \sin x dx$ लेने पर,$du = 2 dx$ और $v = -\cos x$ प्राप्त होता है। $\int (3 + 2x)\sin x dx = (3 + 2x)(-\cos x) - \int (-\cos x)(2) dx = -(3 + 2x)\cos x + 2\sin x$. दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (1 - 2x)\sin x - 2\cos x - (3 + 2x)\cos x + 2\sin x + C$. $I = \sin x(1 - 2x + 2) + \cos x(-2 - 3 - 2x) + C$. $I = (3 - 2x)\sin x + (-5 - 2x)\cos x + C$. इसकी तुलना $f(x)\sin x + g(x)\cos x + C$ से करने पर,हमें $f(x) = 3 - 2x$ और $g(x) = -5 - 2x$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

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