int_0^{pi /2} frac{cos x}{1 + cos x + sin x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \in

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\log 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos(\pi/2 - x)}{1 + \cos(\pi/2 - x) + \sin(\pi/2 - x)} \,dx = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} \,dx$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x + \sin x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $2I = \int_0^{\pi /2} \frac{(1 + \cos x + \sin x) - 1}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = \int_0^{\pi /2} 1 \,dx - \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$. $2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi /2} \frac{1}{2\cos^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2)} \,dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi /2} \sec^2(x/2) \frac{1}{1 + 	an(x/2)} \,dx$. माना $u = 	an(x/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \,dx$. सीमाएँ: $x=0 \implies u=0$,$x=\pi/2 \implies u=1$. $2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{1+u} \,du = \frac{\pi}{2} - [\ln(1+u)]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \ln 2$. $I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = $

Similar Questions

समाकलन $\int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ का मान है

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। यदि $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है,तो:

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x^2 \ln x}{(1+x^2)^3} dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(e^{\sin x}-e^{\cos x}\right) d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module