x in mathbb{R} के लिए,मान लीजिए f(x) = |sin x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$ है।$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है।हम $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi

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सभी $x$ के लिए $p(x + \pi) = p(x)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$ है।$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है।हम $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi}(x + \pi)$ का मूल्यांकन करते हैं।$g(x + \pi) = \int_0^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi} |\sin t| \, dt + \int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt$ है।चूंकि $|\sin t|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^x |\sin t| \, dt = g(x)$ है।साथ ही,$\int_0^{\pi} |\sin t| \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin t \, dt = 2[-\cos t]_0^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2$ है।अतः,$g(x + \pi) = 2 + g(x)$ है।इसे $p(x + \pi)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$p(x + \pi) = (2 + g(x)) - \frac{2}{\pi} x - \frac{2}{\pi} \cdot \pi = 2 + g(x) - \frac{2}{\pi} x - 2 = g(x) - \frac{2}{\pi} x = p(x)$ है।अतः,सभी $x$ के लिए $p(x + \pi) = p(x)$ सत्य है।

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। यदि $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है,तो:

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