int_0^2 frac{x^3}{(x^2 + 1)^{3/2}} , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $t = x^2 + 1$,तब $dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = 2$,तब $t = 5$.समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_0

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इनमें से कोई नहीं

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(D) माना $t = x^2 + 1$,तब $dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = 2$,तब $t = 5$.समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_0^2 \frac{x^2 \cdot x \, dx}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{1}{2} \int_1^5 \frac{t - 1}{t^{3/2}} \, dt$.$= \frac{1}{2} \int_1^5 (t^{-1/2} - t^{-3/2}) \, dt$.$= \frac{1}{2} [2t^{1/2} - \frac{t^{-1/2}}{-1/2}]_1^5 = \frac{1}{2} [2\sqrt{t} + \frac{2}{\sqrt{t}}]_1^5$.$= [\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}]_1^5 = (\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{5}}) - (1 + 1) = \frac{5+1}{\sqrt{5}} - 2 = \frac{6}{\sqrt{5}} - 2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

$\int_0^2 \frac{x^3}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx = $

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यदि $f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|, \forall x \in[1,4]$ है,तो $\int_1^4 f(x) dx=$

$\int_{-3}^3 |2-x| dx =$

$\int_{-2}^{1} [x+1] \, dx =$ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

मान लीजिए कि $F(x)$,$f(x) = \frac{\sin x}{x}$,$x > 0$ का एक प्रति-अवकलज (antiderivative) है। तो $\int_{1}^{3} \frac{\sin 2x}{x} dx$ को किस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है?

$\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \sin^2(\cos x) \, dx =$

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