int_{0}^{pi} log(sin^2 x) , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx$. $\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{\pi} 2 \log(\s

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$2\pi \log_e\left(\frac{1}{2}\right)$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx$. $\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{\pi} 2 \log(\sin x) \, dx$. अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin x$,$x = \frac{\pi}{2}$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम लिख सकते हैं $I = 2 	imes 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = 4 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$. मानक समाकलन परिणाम $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर: $I = 4 	imes \left(-\frac{\pi}{2} \log 2ight) = -2\pi \log 2$. चूंकि $-\log 2 = \log(2^{-1}) = \log(\frac{1}{2})$,इसलिए $I = 2\pi \log(\frac{1}{2})$.

$\int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx = $

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