int_{-1}^{1} x tan^{-1} x , dx का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1}^{1} x 	an^{-1} x \, dx$ है। चूँकि $f(x) = x 	an^{-1} x$ एक सम फलन है (क्योंकि $f(-x) = (-x) 	an^{-1}(-x) = (-x)(-	an^{-1}

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$\frac{\pi}{2} - 1$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-1}^{1} x 	an^{-1} x \, dx$ है। चूँकि $f(x) = x 	an^{-1} x$ एक सम फलन है (क्योंकि $f(-x) = (-x) 	an^{-1}(-x) = (-x)(-	an^{-1} x) = x 	an^{-1} x = f(x)$),इसलिए हम लिख सकते हैं: $I = 2 \int_{0}^{1} x 	an^{-1} x \, dx$। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 	an^{-1} x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है। $I = 2 \left[ \frac{x^2}{2} 	an^{-1} x \Big|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2(1+x^2)} \, dx ight]$ $I = \left[ x^2 	an^{-1} x ight]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$ $I = (1^2 	an^{-1} 1 - 0) - \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \, dx$ $I = \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} ight) \, dx$ $I = \frac{\pi}{4} - [x - 	an^{-1} x]_0^1$ $I = \frac{\pi}{4} - (1 - 	an^{-1} 1) = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 1$।

$\int_{-1}^{1} x \tan^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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