समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-4 \pi}^{4 \pi} \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x \, dx$

यदि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ है,तो:

मान लीजिए $[\bullet]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx$ है, तो $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\alpha\pi} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} \right) d\theta$ का मान . . . . . . होगा।

मान लीजिए कि $f$ सभी $x \geq 0$ के लिए एक गैर-स्थिर निरंतर फलन है। मान लीजिए कि $f$ किसी $a \in R^{+}$ के लिए संबंध $f(x) f(a-x)=1$ को संतुष्ट करता है। तो, $I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।