int_{-1}^{2} {|x|,dx} = (/2 में) | vedclass

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Question

(A) हमें निश्चित समाकल $I = \int_{-1}^{2} {|x|\,dx}$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि फलन $|x|$ का मान $x = 0$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकल को दो भागों में वि

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(A) हमें निश्चित समाकल $I = \int_{-1}^{2} {|x|\,dx}$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि फलन $|x|$ का मान $x = 0$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:$I = \int_{-1}^{0} {|x|\,dx} + \int_{0}^{2} {|x|\,dx}$.$x \in [-1, 0]$ के लिए,$|x| = -x$ और $x \in [0, 2]$ के लिए,$|x| = x$ होता है।अतः,$I = \int_{-1}^{0} {-x\,dx} + \int_{0}^{2} {x\,dx}$.पहले भाग का समाकलन: $\int_{-1}^{0} {-x\,dx} = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\left( 0 - \frac{(-1)^2}{2} \right) = -\left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.दूसरे भाग का समाकलन: $\int_{0}^{2} {x\,dx} = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right) = \frac{4}{2} = 2$.दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

$\int_{-1}^{2} {|x|\,dx} =$ ($/2$ में)

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यदि $I = \int_0^{100\pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि $\int_0^{e^3}\left[\frac{1}{e^{x-1}}\right] d x=\alpha-\log _e 2$ है,तो $\alpha^3$ का मान . . . . . . है।

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