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Question

(B) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 + kn}}$.हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$y = \mathop {\li

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$2\sqrt{2} - 2$

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(B) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 + kn}}$.हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$y = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n\sqrt{1 + \frac{k}{n}}}$.यह $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग (Riemann sum) है,जहाँ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$.यह सीमा निश्चित समाकल (definite integral) के बराबर है:$y = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$.समाकल का मूल्यांकन करने पर:$y = [2\sqrt{1+x}]_{0}^{1}$.$y = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{1+0}$.$y = 2\sqrt{2} - 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ का मान क्या है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_2^3 x^2 dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

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