lim _{n rightarrow infty} sum_{k=1}^n frac{n^ | vedclass

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Question

(D) योग को रीमान समाकलन के रूप में व्यक्त करने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.माना $x =

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$\frac{\pi}{8(2 \sqrt{3}+3)}$

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(D) योग को रीमान समाकलन के रूप में व्यक्त करने पर: $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.माना $x = k/n$,तो व्यंजक $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ बन जाता है।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)} = \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2}$.समाकलन करने पर: $\int_0^1 \left( \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2} ight) dx = \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+(\sqrt{3}x)^2} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$.$= \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}x) ight]_0^1 - \frac{1}{2} [	an^{-1}x]_0^1$.$= \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{24}$.यह मान $\frac{\pi}{8(2\sqrt{3}+3)}$ के बराबर है।अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ का मान क्या है?

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1^2}{1^3 + n^3} + \frac{2^2}{2^3 + n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3 + n^3} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ है, तो $e^p=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

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