int_0^pi sin^5left( frac{x}{2} right) , dx का | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब

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$\frac{16}{15}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$. $t = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \pi$,तब $t = \frac{\pi}{2}$. अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \cdot 2 \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \, dt$. वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^n(x) \, dx = \frac{(n-1)(n-3)\dots(2)}{n(n-2)\dots(1)}$ (जब $n$ विषम संख्या हो)। $n = 5$ के लिए,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) \, dt = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8}{15}$. इसलिए,$I = 2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$.

$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है, तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$,तो $\int_0^{\pi /2} f(x) dx = $

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