यदि int_0^{2a} x^2 sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4 है | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx$. $x = 2a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 4a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता

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$5$

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(C) माना $I = \int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx$. $x = 2a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 4a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। सीमाएँ बदलती हैं: जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=2a, 	heta=\frac{\pi}{2}$. साथ ही, $\sqrt{2ax-x^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2 	heta \cos^2 	heta} = 2a \sin 	heta \cos 	heta$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_0^{\pi/2} (2a \sin^2 	heta)^2 (2a \sin 	heta \cos 	heta) (4a \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$ $I = 32a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^6 	heta \cos^2 	heta d	heta$. वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर: $I = 32a^4 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi a^4}{8}$. दिया गया है कि $I = ka^4$, अतः $k = \frac{5\pi}{8}$, जिसका अर्थ है $k : \pi = 5 : 8$.

यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है, तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

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