int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx का मान है | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$. $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ तब

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$\frac{\pi}{32}$

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(D) माना $I = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$. $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ तब $	heta = 0$,और जब $x = 1$ तब $	heta = \frac{\pi}{2}$. $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} 	heta (\cos^{2} 	heta)^{3/2} \cos 	heta d	heta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} 	heta \cos^{4} 	heta d	heta$. वालिस सूत्र या बीटा फलन $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{m} 	heta \cos^{n} 	heta d	heta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर। यहाँ $m=2, n=4$ है,अतः $I = \frac{\Gamma(3/2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(4)} = \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8} \pi}{12} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$.

$\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$ का मान है

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मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

मान लीजिए $x > 0$ के लिए $S(x) = \int_{x^2}^{x^3} \ln t \, dt$ और $H(x) = \frac{S'(x)}{x}$ है। तो $H(x)$ है :

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin x \cdot \sin \sqrt{\theta}}{1 + \cos^2 \sqrt{\theta}} \, d\theta$ है,तो $f'(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \sin^7 x \cos^6 x \, dx =$

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