मान लीजिए x 0 के लिए S(x) = int_{x^2}^{x^3} | vedclass

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Question

(B) लाइबनीज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $S(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $S'(x) = \ln(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - \ln(x^2) \cdot \frac

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अपने प्रांत में अवकलनीय और सतत है

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(B) लाइबनीज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $S(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $S'(x) = \ln(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - \ln(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$ $S'(x) = (3 \ln x) \cdot (3x^2) - (2 \ln x) \cdot (2x)$ $S'(x) = 9x^2 \ln x - 4x \ln x$ $S'(x) = x \ln x (9x - 4)$ अब,$H(x) = \frac{S'(x)}{x} = \frac{x \ln x (9x - 4)}{x} = \ln x (9x - 4)$ चूंकि $\ln x$ और $(9x - 4)$ दोनों $x > 0$ के लिए सतत और अवकलनीय हैं,इसलिए उनका गुणनफल $H(x) = \ln x (9x - 4)$ भी अपने प्रांत $(0, \infty)$ में सतत और अवकलनीय है।

मान लीजिए $x > 0$ के लिए $S(x) = \int_{x^2}^{x^3} \ln t \, dt$ और $H(x) = \frac{S'(x)}{x}$ है। तो $H(x)$ है :

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$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx = $

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x=$

मान लीजिए $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ जहाँ $f$ एक सतत फलन है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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